Упр.714 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На продолжении боковой стороны $$ОВ$$ равнобедренного треугольника $$АОВ$$ с основанием $$АВ$$ взята точка $$С$$ так, что точка $$В$$ лежит между точками $$О$$ и $$С$$. Отрезок $$АС$$ пересекает биссектрису угла $$АОВ$$ в точке $$М$$. Докажите, что $$AM < МС$$.
Две окружности имеют общую точку $$М$$ и общую касательную в этой точке. Прямая $$АВ$$ касается одной окружности в точке $$А$$, а другой — в точке $$В$$. Докажите, что точка $$М$$ лежит на окружности с диаметром $$АВ$$.

Подробный ответ

Пусть $$OM$$ — биссектриса угла $$AOC$$ и $$M \in AC$$.

Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике $$AOC$$ имеем

$$\frac{AM}{MC}=\frac{OA}{OC}.$$

Так как $$AOB$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, то $$OA=OB$$. Точка $$C$$ лежит на продолжении стороны $$OB$$ за точку $$B$$, значит $$OC>OB$$. Следовательно,

$$OA<OC,$$

а значит

$$\frac{AM}{MC}=\frac{OA}{OC}<1.$$

Отсюда $$AM<MC$$, что и требовалось доказать.