Упр.713 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как $$4:3$$, а высота, проведённая к основанию, равна $$30\text{ см}$$. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
- Прямые $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Через произвольную точку $$X$$, взятую на дуге $$BC$$, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что периметр треугольника $$AMN$$ и величина угла $$MON$$ не зависят от выбора точки $$X$$ на дуге $$BC$$.
Пусть $$BH$$ — высота, проведённая к основанию $$AC$$, а биссектриса угла при основании пересекает $$BH$$ в точке $$O$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$, а значит, высота $$BH$$ является и медианой. Следовательно, $$AH=\dfrac{AC}{2}$$.
По условию $$AC:AB=4:3$$, значит можно положить
$$AC=4x,\quad AB=3x,$$
тогда
$$AH=2x.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Биссектриса угла при основании делит угол $$\angle A$$ пополам, поэтому в треугольнике $$ABH$$ она является биссектрисой угла при вершине $$A$$ и пересекает сторону $$BH$$ в точке $$O$$. По теореме о биссектрисе
$$\frac{BO}{OH}=\frac{AB}{AH}=\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}.$$
Пусть $$OH=y$$, тогда $$BO=30-y$$. Получаем
$$\frac{30-y}{y}=\frac{3}{2}.$$
Отсюда
$$2(30-y)=3y,$$
$$60-2y=3y,$$
$$5y=60,$$
$$y=12.$$
Тогда
$$BO=30-12=18.$$
Ответ: $$OH=12\text{ см},\ BO=18\text{ см}.$$
