Упр.710 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, АВ = 6 см, ВС=9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A1B1C1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А1В1С1. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Так как $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, то соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}.$$

Наибольшей стороне треугольника $$ABC$$ соответствует наибольшая сторона треугольника $$A_1B_1C_1$$. Значит, $$AC=10$$ см соответствует $$A_1C_1=7{,}5$$ см.

Найдём коэффициент подобия:

$$k=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{10}{7{,}5}=\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$A_1B_1=\frac{AB}{k}=\frac{6}{4/3}=6\cdot \frac{3}{4}=4{,}5\text{ см},$$

$$B_1C_1=\frac{BC}{k}=\frac{9}{4/3}=9\cdot \frac{3}{4}=6{,}75\text{ см}.$$

Докажем, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$AD \parallel BC$$, и около неё описана окружность. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — вписанный, значит, суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то односторонние углы при секущих равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ.$$

Из равенств $$\angle A+\angle C=180^\circ$$ и $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ получаем $$\angle B=\angle C$$.

А из равенств $$\angle B+\angle D=180^\circ$$ и $$\angle C+\angle D=180^\circ$$ получаем $$\angle A=\angle D$$.

Следовательно, углы при каждом основании трапеции равны, значит, трапеция равнобедренная.

Ответ

$$A_1B_1=4{,}5\text{ см},\quad B_1C_1=6{,}75\text{ см};$$ если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.