Упр.709 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ сторона $$AD$$ равна $$12\text{ см}$$, а угол $$BAD$$ равен $$47^\circ 50’$$. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ $$BD$$ перпендикулярна к стороне $$AB$$.
2. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Так как $$BD \perp AB$$, то треугольник $$ABD$$ прямоугольный, причём $$AD=12$$ см — гипотенуза, а $$\angle BAD=47^\circ 50’$$.

Найдём катеты:

$$\sin \angle BAD=\frac{BD}{AD}, \qquad BD=AD\cdot \sin 47^\circ 50’$$
$$BD=12\cdot 0{,}7412=8{,}89\text{ см}$$

$$\cos \angle BAD=\frac{AB}{AD}, \qquad AB=AD\cdot \cos 47^\circ 50’$$
$$AB=12\cdot 0{,}6712=8{,}06\text{ см}$$

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними, а здесь удобнее взять основание $$AB$$ и высоту $$BD$$:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BD$$
$$S_{ABCD}=8{,}06\cdot 8{,}89=71{,}76\text{ см}^2$$

Ответ

$$71{,}76\text{ см}^2$$