Упр.707 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы ромба с диагоналями $$2\sqrt{3}$$ и $$2$$.
2. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$, боковая сторона треугольника равна $$8\text{ см}$$. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC=8\text{ см}$$, а угол при вершине равен $$\angle ABC=120^\circ$$.

Тогда углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Угол $$\angle BCA$$ опирается на дугу $$BA$$, значит центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен:

$$\angle BOA=2\angle BCA=60^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB$$, он равнобедренный. При этом

$$\angle AOB=60^\circ,$$

следовательно, его углы при основании тоже равны $$60^\circ$$. Значит, треугольник $$AOB$$ равносторонний, и

$$AO=AB=8\text{ см}.$$

Радиус описанной окружности равен $$AO=8\text{ см}$$, поэтому диаметр

$$d=2AO=16\text{ см}.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$