Упр.706 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи 60 м в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)? Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

Подробный ответ

1) Рассмотрим сечение насыпи. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, так как откосы имеют одинаковый угол наклона $$60^\circ$$, а верхняя часть насыпи равна $$60$$ м.

2) Опустим из точек верхнего основания перпендикуляры на нижнее основание. Получим два равных прямоугольных треугольника, у которых высота равна $$12$$ м, а угол при основании равен $$60^\circ$$.

Обозначим горизонтальный отрезок у одного откоса через $$x$$. Тогда

$$\tg 60^\circ=\frac{12}{x}$$

откуда

$$x=\frac{12}{\tg 60^\circ}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ м}.$$

3) Нижняя ширина насыпи равна сумме верхней ширины и двух таких отрезков:

$$60+2x=60+2\cdot 4\sqrt{3}=60+8\sqrt{3}\text{ м}.$$

Приближённо:

$$60+8\sqrt{3}\approx 60+13{,}86=73{,}86\text{ м}.$$

4) Теперь найдём сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности равен $$10$$ см.

Для равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с центром вписанной, а высота делится им в отношении $$2:1$$. Поэтому

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}},$$

где $$a$$ — сторона треугольника. Тогда