Упр.705 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен а. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, уголB = 30°.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$BC=2$$ см, $$AD=6$$ см, $$\angle A=\angle D=\alpha$$.

Опустим перпендикуляры $$BE$$ и $$CF$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BE=CF$$, а четырёхугольник $$BECF$$ — прямоугольник, значит $$EF=BC=2$$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AE=FD$$. Тогда

$$AD=AE+EF+FD=AE+2+AE=2AE+2.$$

Подставим $$AD=6$$:

$$6=2AE+2,$$

$$2AE=4,$$

$$AE=2.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABE$$

$$\tg \alpha=\frac{BE}{AE},$$

откуда

$$BE=AE\cdot \tg \alpha=2\tg \alpha.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BE=\frac{2+6}{2}\cdot 2\tg \alpha=8\tg \alpha.$$

2) Около прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ описана окружность. Тогда гипотенуза $$AB$$ является диаметром окружности, а радиус равен половине гипотенузы.

а) По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Следовательно,

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

б) В прямоугольном треугольнике при $$\angle B=30^\circ$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Значит,

$$AC=\frac{AB}{2}.$$

Так как $$AC=18$$ см, то

$$AB=2\cdot 18=36\text{ см}.$$

Тогда радиус окружности:

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{36}{2}=18\text{ см}.$$