Упр.705 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями $$2\text{ см}$$ и $$6\text{ см}$$, если угол при большем основании равен $$a$$.
2. Около прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если:
   а) $$AC=8\text{ см}$$, $$BC=6\text{ см}$$;
   б) $$AC=18\text{ см}$$, угол $$B=30^\circ$$.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD$$ — большее основание, $$BC$$ — меньшее основание, $$AD=6$$ см, $$BC=2$$ см, $$\angle A=\angle D=\alpha$$.

Опустим перпендикуляры $$BE$$ и $$CF$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BE\perp AD$$, $$CF\perp AD$$, а четырёхугольник $$BEFC$$ — прямоугольник, значит $$EF=BC=2$$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AE=FD$$. Тогда

$$AD=AE+EF+FD=AE+2+AE=2AE+2.$$

Отсюда

$$6=2AE+2,\qquad 2AE=4,\qquad AE=2\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABE$$

$$\tg\alpha=\frac{BE}{AE},$$

значит

$$BE=AE\cdot\tg\alpha=2\tg\alpha.$$

Площадь трапеции равна

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BE=\frac{6+2}{2}\cdot 2\tg\alpha=8\tg\alpha.$$

Ответ: $$S=8\tg\alpha\ \text{см}^2.$$