Упр.704 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом $$a$$ при основании, если:
а) боковая сторона равна $$b$$;
б) основание равно $$a$$. - Окружность с центром $$O$$ описана около прямоугольного треугольника.
а) Докажите, что точка $$O$$ — середина гипотенузы.
б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен $$d$$, а один из острых углов треугольника равен $$a$$.
а) Пусть в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны $$b$$, а углы при основании равны $$\alpha$$. Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AC$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\sin \alpha=\frac{BH}{AB}, \qquad BH=b\sin \alpha.$$
Так как треугольник равнобедренный, то $$\angle A=\angle C=\alpha$$, а высота $$BH$$ является также медианой, значит
$$AH=HC.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\cos \alpha=\frac{AH}{AB}, \qquad AH=b\cos \alpha.$$
Тогда
$$AC=AH+HC=2AH=2b\cos \alpha.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot 2b\cos \alpha \cdot b\sin \alpha =b^2\sin \alpha \cos \alpha.$$
б) Теперь основание равно $$a$$. Так как треугольник равнобедренный, высота $$BH$$ к основанию является медианой, поэтому
$$AH=HC=\frac{a}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\tg \alpha=\frac{BH}{AH}, \qquad BH=\frac{a}{2}\tg \alpha.$$
Тогда площадь равна
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH =\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{a}{2}\tg \alpha =\frac{a^2\tg \alpha}{4}.$$
Ответ
а) $$S_{ABC}=b^2\sin \alpha \cos \alpha$$; б) $$S_{ABC}=\frac{a^2\tg \alpha}{4}$$.
