Упр.701 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а прилежащий к нему угол равен $$a$$.
   а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $$b$$ и $$a$$.
   б) Найдите их значения, если $$b=12\text{ см}$$, $$a=42^\circ$$.
2. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

Пусть в прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$ $$\angle C=90^\circ,$$ $$AC=b,$$ $$\angle A=\alpha.$$ Тогда $$BC$$ — противолежащий катет, $$AB$$ — гипотенуза, а второй острый угол равен $$\angle B.$$

а)

По определению тангенса угла:

$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}$$

откуда

$$BC=b\cdot \tg \alpha.$$

По определению косинуса угла:

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}$$

откуда

$$AB=\frac{b}{\cos \alpha}.$$

Так как в прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до $$90^\circ,$$ то

$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$

б)

Подставим $$b=12$$ см, $$\alpha=42^\circ$$:

$$\angle B=90^\circ-42^\circ=48^\circ.$$

$$BC=12\cdot \tg 42^\circ \approx 12\cdot 0{,}9004 \approx 10{,}8\text{ см}.$$

$$AB=\frac{12}{\cos 42^\circ}\approx \frac{12}{0{,}7431}\approx 16{,}15\text{ см}.$$

Ответ: $$BC=b\cdot \tg \alpha,$$ $$AB=\frac{b}{\cos \alpha},$$ $$\angle B=90^\circ-\alpha.$$ При $$b=12$$ см и $$\alpha=42^\circ$$: $$BC\approx 10{,}8$$ см, $$AB\approx 16{,}15$$ см, $$\angle B=48^\circ.$$