Упр.701 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и а. б) Найдите их значения, если b = 12 см, а = 42°. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.
а) В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$: $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=b$$, $$\angle A=\alpha$$.
По определению тангенса угла:
$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}$$
откуда
$$BC=b\cdot \tg \alpha.$$
По определению косинуса угла:
$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}$$
откуда
$$AB=\frac{b}{\cos \alpha}.$$
Так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают $$90^\circ$$, то
$$\angle B=90^\circ-\alpha.$$
б) Подставим значения $$b=12$$ см, $$\alpha=42^\circ$$:
$$\angle B=90^\circ-42^\circ=48^\circ;$$
$$BC=12\cdot \tg 42^\circ \approx 12\cdot 0{,}9004 \approx 10{,}8\text{ см};$$
$$AB=\frac{12}{\cos 42^\circ}\approx \frac{12}{0{,}7431}\approx 16{,}15\text{ см}.$$
Чтобы вписать окружность в треугольник, строят биссектрисы двух его углов; их пересечение — центр вписанной окружности. Затем из этой точки опускают перпендикуляр к одной из сторон треугольника: полученный отрезок равен радиусу окружности.
Такое построение выполняется одинаково для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.
Ответ
а) $$BC=b\cdot \tg \alpha,\quad AB=\frac{b}{\cos \alpha},\quad \angle B=90^\circ-\alpha.$$
б) $$\angle B=48^\circ,\quad BC\approx 10{,}8\text{ см},\quad AB\approx 16{,}15\text{ см}.$$
Вписанная окружность строится как окружность с центром в точке пересечения биссектрис треугольника.
