Упр.70 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) угол2 + угол4 = 220°; б) 3(угол1 + угол3) = угол2 + угол4; в) угол2 — угол1 = 30°. Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Подробный ответ

а) Углы $$2$$ и $$4$$ — вертикальные, значит, $$\angle 2=\angle 4$$. Тогда

$$\angle 2+\angle 4=220^\circ \Rightarrow 2\angle 2=220^\circ \Rightarrow \angle 2=\angle 4=110^\circ.$$

Углы $$1$$ и $$2$$ — смежные, поэтому

$$\angle 1+\angle 2=180^\circ,$$

откуда

$$\angle 1=180^\circ-110^\circ=70^\circ.$$

Углы $$1$$ и $$3$$ — вертикальные, значит, $$\angle 3=\angle 1=70^\circ.$$

б) Углы $$1$$ и $$3$$ вертикальные, значит, $$\angle 1=\angle 3$$. Углы $$2$$ и $$4$$ тоже вертикальные, значит, $$\angle 2=\angle 4$$.

Пусть $$\angle 1+\angle 3=x$$. Тогда по условию

$$3(\angle 1+\angle 3)=\angle 2+\angle 4,$$

то есть $$3x=\angle 2+\angle 4.$$ Но

$$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=360^\circ,$$

следовательно,

$$x+3x=360^\circ \Rightarrow 4x=360^\circ \Rightarrow x=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle 1=\angle 3=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ,$$

$$\angle 2=\angle 4=\frac{3\cdot 90^\circ}{2}=135^\circ.$$

в) Углы $$1$$ и $$2$$ — смежные, значит,

$$\angle 1+\angle 2=180^\circ.$$

Пусть $$\angle 1=x$$, тогда $$\angle 2=x+30^\circ$$. Получаем

$$x+(x+30^\circ)=180^\circ,$$

$$2x=150^\circ,$$

$$x=75^\circ.$$

Значит,

$$\angle 1=\angle 3=75^\circ,$$

$$\angle 2=\angle 4=105^\circ.$$

Дополнительное задание. Если через точку $$A$$, не лежащую на прямой $$a$$, провести три прямые, пересекающие прямую $$a$$, то не могут все три прямые быть перпендикулярны к $$a$$. Действительно, через точку $$A$$ к прямой $$a$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Следовательно, по крайней мере две из трёх прямых не перпендикулярны к прямой $$a$$.