Упр.698 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте угол а, если: a) tga =1/2; б) tga =3/4; в) cos a = 0,2; г) cos a =2/3; д) sin a =1/2; e) sin a = 0,4. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.

а) Если $$\tg \alpha=\frac{1}{2},$$ то в прямоугольном треугольнике можно взять катеты $$BC=1$$ и $$AC=2.$$ Тогда

$$\alpha \approx 26^\circ34′.$$

б) Если $$\tg \alpha=\frac{3}{4},$$ то можно взять катеты $$BC=3$$ и $$AC=4.$$ Тогда

$$\alpha \approx 36^\circ52′.$$

в) Если $$\cos \alpha=0{,}2=\frac{1}{5},$$ то

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{5}.$$

Возьмём $$AC=1,$$ $$AB=5.$$ Тогда

$$\alpha \approx 78^\circ28′.$$

г) Если $$\cos \alpha=\frac{2}{3},$$ то

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}.$$

Возьмём $$AC=2,$$ $$AB=3.$$ Тогда

$$\alpha \approx 48^\circ11′.$$

д) Если $$\sin \alpha=\frac{1}{2},$$ то

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Возьмём $$BC=1,$$ $$AB=2.$$ Тогда

$$\alpha=30^\circ.$$

е) Если $$\sin \alpha=0{,}4=\frac{2}{5},$$ то

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}.$$

Возьмём $$BC=2,$$ $$AB=5.$$ Тогда

$$\alpha \approx 23^\circ34′.$$

Для четырёхугольника с вписанной окружностью площадь выражается формулой

$$S=\frac{1}{2}r\,(a+b+c+d).$$

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, значит

$$AB+CD=BC+AD.$$

По условию

$$AB+CD=12,$$

следовательно,

$$BC+AD=12.$$

Тогда периметр четырёхугольника равен

$$AB+BC+CD+AD=12+12=24.$$

При $$r=5$$ получаем

$$S=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 24=60.$$

Ответ

а) $$\alpha \approx 26^\circ34’$$; б) $$\alpha \approx 36^\circ52’$$; в) $$\alpha \approx 78^\circ28’$$; г) $$\alpha \approx 48^\circ11’$$; д) $$\alpha=30^\circ$$; е) $$\alpha \approx 23^\circ34’$$; $$S=60\text{ см}^2.$$