Упр.697 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите синус, косинус и тангенс углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, если: а) $$BC=8$$, $$AB=17$$; б) $$BC=21$$, $$AC=20$$; в) $$BC=1$$, $$AC=2$$; г) $$AC=24$$, $$AB=25$$.
2. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Обозначим $$\angle A$$ и $$\angle B$$ острые углы прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. Тогда для каждого случая найдём третью сторону по теореме Пифагора и выразим тригонометрические функции через отношения сторон.

а)

$$BC=8,\quad AB=17.$$

Найдём катет $$AC$$:

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}.$$

Для угла $$B$$:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{8}.$$

б)

$$BC=21,\quad AC=20.$$

Найдём гипотенузу $$AB$$:

$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{21}{20}.$$

Для угла $$B$$:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{20}{21}.$$

в)

$$BC=1,\quad AC=2.$$

Найдём гипотенузу $$AB$$:

$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac12.$$

Для угла $$B$$:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=2.$$

г)

$$AC=24,\quad AB=25.$$

Найдём катет $$BC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$

Тогда

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{24}{25},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{24}.$$

Для угла $$B$$:

$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{24}{25},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{24}{7}.$$

Ответ

а) $$\sin A=\frac{8}{17},\ \cos A=\frac{15}{17},\ \tg A=\frac{8}{15};\quad \sin B=\frac{15}{17},\ \cos B=\frac{8}{17},\ \tg B=\frac{15}{8}.$$
б) $$\sin A=\frac{21}{29},\ \cos A=\frac{20}{29},\ \tg A=\frac{21}{20};\quad \sin B=\frac{20}{29},\ \cos B=\frac{21}{29},\ \tg B=\frac{20}{21}.$$
в) $$\sin A=\frac{1}{\sqrt5},\ \cos A=\frac{2}{\sqrt5},\ \tg A=\frac12;\quad \sin B=\frac{2}{\sqrt5},\ \cos B=\frac{1}{\sqrt5},\ \tg B=2.$$
г) $$\sin A=\frac{7}{25},\ \cos A=\frac{24}{25},\ \tg A=\frac{7}{24};\quad \sin B=\frac{24}{25},\ \cos B=\frac{7}{25},\ \tg B=\frac{24}{7}.$$