Упр.692 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.
2. В треугольник $$ABC$$ вписана окружность, которая касается сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ в точках $$P$$, $$Q$$ и $$R$$. Найдите $$AP$$, $$PB$$, $$BQ$$, $$QC$$, $$CR$$, $$RA$$, если $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=12\text{ см}$$, $$CA=5\text{ см}$$.

Так как окружность вписана в треугольник, то отрезки касательных, проведённые из одной вершины, равны:

$$AP=AR,\quad BP=BQ,\quad CQ=CR.$$

Обозначим:

$$AP=AR=x,\quad BP=BQ=y,\quad CQ=CR=z.$$

Тогда по длинам сторон треугольника получаем систему:

$$\begin{cases} x+y=AB=10,\\ y+z=BC=12,\\ x+z=CA=5. \end{cases}$$

Сложим первое и третье уравнения:

$$2x+y+z=15.$$

Но $$y+z=12,$$ значит

$$2x+12=15,$$

откуда

$$2x=3,\quad x=1{,}5.$$

Тогда

$$y=10-1{,}5=8{,}5,$$

$$z=5-1{,}5=3{,}5.$$

Следовательно,

$$AP=AR=1{,}5\text{ см},\quad BP=BQ=8{,}5\text{ см},\quad CQ=CR=3{,}5\text{ см}.$$

Ответ

$$AP=AR=1{,}5\text{ см},\; BP=BQ=8{,}5\text{ см},\; CQ=CR=3{,}5\text{ см}.$$