Упр.690 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Разделите данный отрезок $$AB$$ на два отрезка $$AX$$ и $$XB$$, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$.
2. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении $$12:5$$, считая от вершины, а боковая сторона равна $$60\ \text{см}$$.

Обозначим основание равнобедренного треугольника через $$AC$$, вершину — $$B$$, а центр вписанной окружности — $$O$$. Пусть высота $$BH$$ проведена к основанию $$AC$$, тогда $$H$$ — середина основания, то есть $$AH=HC$$.

По условию центр вписанной окружности делит высоту в отношении $$12:5$$, считая от вершины, значит

$$BO:OH=12:5.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle BMO$$, где $$M$$ — точка касания вписанной окружности со стороной $$AB$$. У них

$$\angle BHA=90^\circ,\qquad \angle BMO=90^\circ,$$

а также $$\angle ABH=\angle MBO$$, так как $$BO$$ — биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника. Следовательно,

$$\triangle ABH \sim \triangle BMO.$$

Из подобия получаем

$$\frac{AH}{OM}=\frac{BH}{BM}=\frac{AB}{BO}.$$

Так как $$AB=60$$ см, а $$BO:OH=12:5$$, положим $$BO=12x$$, $$OH=5x$$. Тогда

$$BH=BO+OH=17x.$$

Из подобия треугольников

$$\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{BO},$$

откуда

$$AH=\frac{AB\cdot OH}{BO}=\frac{60\cdot 5x}{12x}=25\text{ см}.$$

Так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, то

$$AC=2AH=2\cdot 25=50\text{ см}.$$

Ответ: $$50$$ см.