Упр.689 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 204 показано, как можно определить ширину $$BB_1$$ реки, рассматривая два подобных треугольника $$ABC$$ и $$AB_1C_1$$. Определите $$BB_1$$, если $$AC=100\ \text{м}$$, $$AC_1=32\ \text{м}$$, $$AB_1=34\ \text{м}$$.
В равнобедренном треугольнике основание равно $$10\ \text{см}$$, а боковая сторона равна $$13\ \text{см}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как он равнобедренный, то $$AB=BC=13$$ см, а основание $$AC=10$$ см.

Пусть $$K$$ — точка касания вписанной окружности с основанием $$AC$$, а $$O$$ — её центр. Тогда $$OK\perp AC$$ и $$OK=r$$.

В равнобедренном треугольнике высота $$BK$$, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому

$$AK=KC=\frac{AC}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABK$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AK^2+BK^2$$
$$13^2=5^2+BK^2$$
$$BK^2=169-25=144,\quad BK=12.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOK$$. Так как центр вписанной окружности лежит на высоте $$BK$$, то

$$OB=BK-OK=12-r.$$

Треугольники $$ABK$$ и $$BOK$$ подобны, поскольку оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине $$B$$. Тогда

$$\frac{AK}{OK}=\frac{AB}{BO}$$
$$\frac{5}{r}=\frac{13}{12-r}.$$

Решим уравнение: