Упр.689 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На рисунке 204 показано, как можно определить ширину ВВ1 реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и АВ1С1. Определите ВВ1, если АС = 100 м, АС1 = 32 м, АВ1 = 34 м. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Подробный ответ

Обозначим радиус вписанной окружности через $$r$$. Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$M$$, а стороны $$AC$$ — в точке $$K$$, центр окружности — точка $$O$$.

Тогда $$OM \perp AB$$ и $$OK \perp AC$$, значит, $$\angle BMO = \angle BKO = 90^\circ$$. Кроме того, $$BO$$ — общая сторона для треугольников $$ABO$$ и $$BKO$$, а $$AB = BC = 13$$, так как треугольник равнобедренный.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABM$$ и $$BMO$$. Они подобны по двум углам, поэтому

$$ \frac{AK}{OM}=\frac{AB}{BO} $$

Сначала найдём $$BK$$ из прямоугольного треугольника $$ABK$$:

$$ AB^2 = AK^2 + BK^2 $$

$$ 13^2 = 5^2 + BK^2 $$

$$ 169 = 25 + BK^2 $$

$$ BK^2 = 144,\quad BK = 12 $$

Так как $$O$$ лежит на высоте к основанию, то

$$ OB = BK — r = 12 — r $$

Теперь используем подобие треугольников $$ABM$$ и $$BMO$$:

$$ \frac{AK}{OM}=\frac{AB}{BO} $$

$$ \frac{5}{r}=\frac{13}{12-r} $$