Упр.684 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C выполняется равенство $$AC^2+BC^2=AB^2$$.
2. Биссектрисы углов при основании AB равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что прямая CM перпендикулярна к прямой AB.

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы углов при основании $$AB$$, а их точка пересечения — $$M$$.

Так как $$M \in AA_1$$, то точка $$M$$ лежит на биссектрисе угла при вершине $$A$$. Аналогично, $$M \in BB_1$$, значит, $$M$$ лежит и на биссектрисе угла при вершине $$B$$.

Следовательно, точка $$M$$ равноудалена от сторон угла $$A$$ и от сторон угла $$B$$. Поэтому прямая $$CM$$ является биссектрисой угла $$C$$.

Но треугольник $$ABC$$ равнобедренный, так как $$AC=BC$$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Значит,

$$CM \perp AB.$$

Таким образом, прямая $$CM$$ перпендикулярна прямой $$AB$$.

Ответ

$$CM \perp AB.$$