Упр.684 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2. Биссектрисы углов при основании АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ.

Подробный ответ

1) Докажем теорему Пифагора.

Пусть в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена высота $$CD$$ к гипотенузе $$AB$$.

Тогда треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$ подобны треугольнику $$ABC$$, поэтому

$$AC^2=AB\cdot AD,$$

$$BC^2=AB\cdot BD.$$

Сложим эти равенства:

$$AC^2+BC^2=AB\cdot AD+AB\cdot BD=AB(AD+BD).$$

Так как $$AD+BD=AB,$$ то

$$AC^2+BC^2=AB\cdot AB=AB^2.$$

Тем самым теорема Пифагора доказана.

2) Докажем, что в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ биссектрисы углов при основании $$AB$$ пересекаются в точке $$M$$, и прямая $$CM$$ перпендикулярна $$AB$$.

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — биссектрисы углов при основании, а $$AA_1\cap BB_1=M$$. Тогда точка $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, значит она равноудалена от сторон $$AC$$ и $$AB$$. Аналогично, точка $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$B$$, значит она равноудалена от сторон $$BC$$ и $$BA$$.

Следовательно, $$M$$ равноудалена от прямых $$AC$$ и $$BC$$. Значит, $$M$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$, то есть прямая $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$.

Но в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также высотой. Поэтому

$$CM\perp AB.$$