Упр.683 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.

Подробный ответ

1) Найдём, какой треугольник дан. Проверим теорему Пифагора:

$$5^2+12^2=25+144=169=13^2.$$

Значит, треугольник со сторонами $$5$$ см, $$12$$ см и $$13$$ см — прямоугольный, а его большая сторона $$13$$ см является гипотенузой.

Пусть $$H$$ — основание высоты, опущенной на гипотенузу. Тогда в прямоугольном треугольнике выполняются соотношения:

$$BC^2=AB\cdot HB,$$

$$AC^2=AB\cdot AH.$$

Подставим значения:

$$HB=\frac{BC^2}{AB}=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}=1\frac{12}{13}\text{ см},$$

$$AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}=11\frac{1}{13}\text{ см}.$$

Следовательно, высота делит большую сторону на отрезки $$11\frac{1}{13}$$ см и $$1\frac{12}{13}$$ см.

2) Докажем, что если в треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB$$ и $$AC$$ не равны, то медиана $$AM$$ не является высотой.

Предположим противное: пусть $$AM \perp BC$$. Тогда треугольники $$AMC$$ и $$AMB$$ — прямоугольные.

Кроме того, $$AM$$ — общая сторона, а $$CM=MB$$, так как $$M$$ — середина $$BC$$. Значит, $$\triangle AMC \cong \triangle AMB$$ по катету и гипотенузе.

Отсюда следует, что $$AC=AB$$, что противоречит условию $$AB\ne AC$$. Значит, предположение неверно, и медиана $$AM$$ не может быть высотой.