Упр.683 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике, стороны которого равны $$5\ \text{см}$$, $$12\ \text{см}$$ и $$13\ \text{см}$$, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.
2. Докажите, что если в треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB$$ и $$AC$$ не равны, то медиана $$AM$$ треугольника не является высотой.

Треугольник со сторонами $$5$$ см, $$12$$ см и $$13$$ см — прямоугольный, так как

$$5^2+12^2=25+144=169=13^2.$$

Значит, большая сторона $$13$$ см — гипотенуза. Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит её на отрезки, равные проекциям катетов:

$$AH=\frac{AC^2}{AB}, \qquad HB=\frac{BC^2}{AB}.$$

Подставим значения:

$$AH=\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}=11\frac{1}{13}\text{ см},$$

$$HB=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}=1\frac{12}{13}\text{ см}.$$

Проверка: $$AH+HB=\frac{144}{13}+\frac{25}{13}=\frac{169}{13}=13,$$ что верно.

Ответ

$$11\frac{1}{13}\text{ см}$$ и $$1\frac{12}{13}\text{ см}.$$