Упр.682 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на $$11\text{ см}$$ больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как $$6:5$$.
2. Равнобедренные треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ имеют общее основание $$AB$$. Докажите, что прямая $$CD$$ проходит через середину отрезка $$AB$$.

Пусть $$HB=x$$ см, тогда $$AH=x+11$$ см.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, удовлетворяет свойству:

$$BC^2=AB\cdot HB,\qquad AC^2=AB\cdot AH.$$

Так как катеты относятся как $$6:5$$, то можно положить

$$BC=6k,\qquad AC=5k.$$

Тогда

$$\frac{BC^2}{HB}=\frac{AC^2}{AH},$$

то есть

$$\frac{36k^2}{x}=\frac{25k^2}{x+11}.$$

Сократим на $$k^2$$:

$$\frac{36}{x}=\frac{25}{x+11}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$36(x+11)=25x,$$

$$36x+396=25x,$$

$$11x=-396,$$

$$x=-36.$$

Получили отрицательное значение, значит в условии имеется в виду, что один отрезок на $$11$$ см больше другого, а больший отрезок соответствует $$HB$$. Тогда

$$HB=x+11,\qquad AH=x.$$

Снова составим отношение:

$$\frac{36}{x+11}=\frac{25}{x}.$$

Тогда

$$36x=25(x+11),$$

$$36x=25x+275,$$

$$11x=275,$$

$$x=25.$$

Следовательно, $$HB=25+11=36$$ см, а гипотенуза равна

$$AB=AH+HB=25+36=61$$ см.

Ответ: $$61$$ см.