Упр.681 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $$3:4$$, а гипотенуза равна $$50\text{ мм}$$. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.
2. Серединный перпендикуляр к стороне $$AB$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Найдите основание $$AC$$, если периметр треугольника $$AEC$$ равен $$27\text{ см}$$, а $$AB=18\text{ см}$$.

1) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$3x$$ и $$4x$$. Тогда гипотенуза равна $$5x$$, так как треугольник с отношением катетов $$3:4$$ является подобным треугольнику со сторонами $$3,4,5$$.

По условию $$5x=50$$, значит $$x=10$$.

Тогда катеты:

$$3x=30\text{ мм}, \qquad 4x=40\text{ мм}.$$

Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки, равные проекциям катетов:

$$AD=\frac{AC^2}{AB}, \qquad BD=\frac{BC^2}{AB},$$

где $$AB=50\text{ мм}$$ — гипотенуза, $$AC=30\text{ мм}$$, $$BC=40\text{ мм}$$.

Вычислим:

$$AD=\frac{30^2}{50}=\frac{900}{50}=18\text{ мм},$$

$$BD=\frac{40^2}{50}=\frac{1600}{50}=32\text{ мм}.$$

Проверка: $$18+32=50$$, что совпадает с длиной гипотенузы.

Ответ

$$18\text{ мм}$$ и $$32\text{ мм}$$.