Упр.678 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите: а) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$b_c=25$$, $$a_c=16$$; б) $$h$$, $$a$$ и $$b$$, если $$b_c=36$$, $$a_c=64$$; в) $$a$$, $$c$$ и $$a_c$$, если $$b=12$$, $$b_c=6$$; г) $$b$$, $$c$$ и $$b_c$$, если $$a=8$$, $$a_c=4$$; д) $$h$$, $$b$$, $$a_c$$ и $$b_c$$, если $$a=6$$, $$c=9$$.
Биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите углы $$ACM$$ и $$BCM$$, если: а) угол $$AMB=136^\circ$$; б) угол $$AMB=111^\circ$$.

Подробный ответ

1) Если речь идёт о прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, $$CH\perp AB$$, $$AH=bc$$, $$HB=ac$$, $$AB=c$$, $$CH=h$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$, то используем свойства высоты, опущенной на гипотенузу:

$$h^2=ac\cdot bc,\qquad c=ac+bc,\qquad a^2=c\cdot ac,\qquad b^2=c\cdot bc.$$

а) $$bc=25,\ ac=16$$

$$h=\sqrt{25\cdot 16}=20,$$
$$c=25+16=41,$$
$$b=\sqrt{41\cdot 25}=5\sqrt{41},$$
$$a=\sqrt{41\cdot 16}=4\sqrt{41}.$$

Ответ: $$h=20,\ a=4\sqrt{41},\ b=5\sqrt{41}.$$

б) $$bc=36,\ ac=64$$

$$h=\sqrt{36\cdot 64}=48,$$
$$c=36+64=100,$$
$$a=\sqrt{100\cdot 64}=80,$$
$$b=\sqrt{100\cdot 36}=60.$$

Ответ: $$h=48,\ a=80,\ b=60.$$

в) $$b=12,\ bc=6$$

$$b^2=c\cdot bc \Rightarrow c=\frac{b^2}{bc}=\frac{144}{6}=24,$$
$$ac=c-bc=24-6=18,$$
$$a=\sqrt{c\cdot ac}=\sqrt{24\cdot 18}=12\sqrt{3}.$$

Ответ: $$a=12\sqrt{3},\ c=24,\ ac=18.$$

г) $$a=8,\ ac=4$$

$$a^2=c\cdot ac \Rightarrow c=\frac{a^2}{ac}=\frac{64}{4}=16,$$
$$bc=c-ac=16-4=12,$$
$$b=\sqrt{c\cdot bc}=\sqrt{16\cdot 12}=8\sqrt{3}.$$

Ответ: $$b=8\sqrt{3},\ c=16,\ bc=12.$$

д) $$a=6,\ c=9$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{81-36}=3\sqrt{5},$$
$$ac=\frac{a^2}{c}=\frac{36}{9}=4,$$
$$bc=\frac{b^2}{c}=\frac{45}{9}=5,$$
$$h=\sqrt{ac\cdot bc}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.$$

Ответ: $$h=2\sqrt{5},\ b=3\sqrt{5},\ ac=4,\ bc=5.$$

Ход решения

2) Если речь идёт о треугольнике $$ABC$$, где биссектрисы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$M$$, то точка $$M$$ — центр вписанной окружности, значит $$CM$$ тоже биссектриса угла $$C$$. Поэтому

$$\angle ACM=\angle BCM=\frac{\angle C}{2}.$$

Найдём $$\angle C$$ через угол $$\angle AMB$$. Для инцентра верно:

$$\angle AMB=90^\circ+\frac{\angle C}{2}.$$

а) $$\angle AMB=136^\circ$$

$$136^\circ=90^\circ+\frac{\angle C}{2} \Rightarrow \frac{\angle C}{2}=46^\circ.$$

Следовательно,
$$\angle ACM=\angle BCM=46^\circ.$$

б) $$\angle AMB=111^\circ$$

$$111^\circ=90^\circ+\frac{\angle C}{2} \Rightarrow \frac{\angle C}{2}=21^\circ.$$

Следовательно,
$$\angle ACM=\angle BCM=21^\circ.$$

Ответ: а) $$\angle ACM=\angle BCM=46^\circ$$; б) $$\angle ACM=\angle BCM=21^\circ$$.