Упр.677 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площадь треугольника $$ABO$$ равна $$S$$.
- Биссектрисы внешних углов при вершинах $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что точка $$O$$ является центром окружности, касающейся прямых $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$.
Пусть $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, а медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$.
Тогда точка $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то есть
$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$
Обозначим через $$S_{ABO}$$ площадь треугольника $$ABO$$. По условию $$S_{ABO}=S$$.
Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$ABA_1$$. У них общая сторона $$AB$$, а высоты, опущенные из точек $$O$$ и $$A_1$$ на прямую $$AB$$, относятся как расстояния от этих точек до стороны $$AB$$. Так как $$O$$ лежит на медиане $$AA_1$$ и $$AO:OA_1=2:1$$, то высота из $$O$$ в треугольнике $$ABO$$ вдвое меньше высоты из $$A_1$$ в треугольнике $$ABA_1$$. Значит,
$$S_{ABA_1}=2S_{ABO}=2S.$$
Аналогично, из отношения $$BO:OB_1=2:1$$ получаем
$$S_{AB_1O}=2S_{ABO}=2S.$$
Теперь заметим, что точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$, поэтому отрезок $$A_1B_1$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, а треугольники $$ABA_1$$ и $$A_1CA$$ имеют равные площади. Следовательно,
$$S_{AA_1C}=S_{ABA_1}=2S.$$
Тогда площадь всего треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей треугольников $$ABO$$ и $$AOC$$, а также удобно выразить её через треугольник $$ABA_1$$:
$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{AA_1C}=2S+2S=4S.$$
Ответ: $$4S$$.
