Упр.676 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагональ $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ равна $$18\ \text{см}$$. Середина $$M$$ стороны $$AB$$ соединена с вершиной $$D$$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $$AC$$ отрезком $$DM$$.
Стороны угла $$A$$ касаются окружности с центром $$O$$ радиуса $$r$$. Найдите:
а) $$OA$$, если $$r=5\ \text{см}$$, $$\angle A=60^\circ$$;
б) $$r$$, если $$OA=14\ \text{дм}$$, $$\angle A=90^\circ$$.

Подробный ответ

Так как стороны угла касаются окружности, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим сторонам. Следовательно, $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp AC$$, а значит, $$OA$$ — биссектриса угла $$A$$.

а) При $$r=5\text{ см}$$ и $$\angle A=60^\circ$$ получаем

$$\angle BAO=\angle OAC=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. В нём

$$\sin 30^\circ=\frac{OB}{AO}.$$

Так как $$OB=r=5\text{ см}$$, то

$$\frac{1}{2}=\frac{5}{AO},$$

откуда

$$AO=10\text{ см}.$$

б) При $$OA=14\text{ дм}$$ и $$\angle A=90^\circ$$ имеем

$$\angle BAO=\angle OAC=45^\circ.$$

Треугольник $$AOB$$ прямоугольный и равнобедренный, значит, $$AB=OB=r.$$ Тогда по теореме Пифагора:

$$AO^2=AB^2+BO^2=2r^2.$$