Упр.675 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
- Стороны угла $$O$$ касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке $$A$$. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой $$OA$$.
Пусть стороны угла с вершиной $$O$$ являются касательными к первой окружности в точках $$B$$ и $$B_1$$, а ко второй — в точках $$C$$ и $$C_1$$. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$O_1B \perp BC,\quad O_1B_1 \perp B_1C_1,\quad O_2C \perp BC,\quad O_2C_1 \perp B_1C_1.$$
Значит, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ равноудалены от сторон угла, то есть лежат на его биссектрисе. Следовательно, прямая $$OO_2$$ является биссектрисой угла.
Теперь рассмотрим точку касания $$A$$ общих касательных окружностей. По свойству биссектрисы точка $$A$$ равноудалена от сторон угла, поэтому
$$AK=AK_1,$$
где $$K$$ и $$K_1$$ — основания перпендикуляров из $$A$$ на стороны угла. Значит, $$A$$ также лежит на биссектрисе угла, то есть на прямой $$OO_2$$.
Итак, центры обеих окружностей лежат на прямой $$OA$$.
Ответ
$$O_1 \in OA,\quad O_2 \in OA.$$
