Упр.674 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$. Найдите периметр треугольника $$ABC$$, если периметр треугольника $$APQ$$ равен $$21\text{ см}$$.
2. Из точки $$M$$ биссектрисы неразвёрнутого угла $$O$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ к сторонам этого угла. Докажите, что $$AB\perp OM$$.

Пусть $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$. Тогда $$AP=PB$$ и $$AQ=QC$$, значит

$$AB=2AP,\qquad AC=2AQ.$$

Так как $$P$$ и $$Q$$ — середины двух сторон треугольника, то $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$BC=2PQ.$$

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$APQ$$ подобны, причём коэффициент подобия равен $$2$$. Значит, периметр большого треугольника в 2 раза больше периметра малого:

$$P_{ABC}=2P_{APQ}=2\cdot 21=42\text{ см}.$$

Ответ: $$42\text{ см}$$.