Упр.673 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно $$2{,}5\ \text{см}$$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
2. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.

Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$OH=2{,}5$$ см.

В прямоугольнике диагонали пересекаются и делятся пополам, значит $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$. Кроме того, противоположные стороны равны, поэтому $$AB=CD$$ и $$AD=BC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$OHD$$. У них:

• $$\angle ADB=\angle ODH$$, так как $$DH$$ лежит на прямой $$AD$$, а $$OD$$ — часть диагонали;
• $$\angle ABD=\angle OHD=90^\circ$$, поскольку $$AB\perp AD$$ и $$OH\perp AD$$.

Следовательно, $$\triangle ABD \sim \triangle OHD$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{OH}{AB}=\frac{OD}{DB}.$$

Но $$DB=BO+OD=2OD$$, так как $$BO=OD$$. Тогда

$$\frac{OH}{AB}=\frac{OD}{2OD}=\frac12.$$

Значит,

$$AB=2\cdot OH=2\cdot 2{,}5=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.