Упр.672 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и C1, а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что AB1 x АС1 = АВ2 x АС2.

1) Точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон треугольника $$ABC$$, значит, отрезки $$A_1C_1$$, $$B_1C_1$$ и $$A_1B_1$$ являются средними линиями треугольника.

По свойству средней линии:

$$A_1C_1=\frac{AC}{2}=\frac{7}{2}=3{,}5\text{ см}$$

$$B_1C_1=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5\text{ см}$$

$$A_1B_1=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ см}$$

2) Тогда периметр треугольника $$A_1B_1C_1$$ равен

$$P_{A_1B_1C_1}=A_1C_1+B_1C_1+A_1B_1=3{,}5+2{,}5+4=10\text{ см}.$$

3) Докажем равенство $$AB_1\cdot AC_1=AB_2\cdot AC_2$$.

Рассмотрим треугольники $$AC_1B_2$$ и $$AC_2B_1$$. У них:

• $$\angle A$$ — общий;
• $$\angle AC_1B_2=\angle AC_2B_1$$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$B_1B_2$$.

Следовательно, $$\triangle AC_1B_2 \sim \triangle AC_2B_1$$. Отсюда

$$\frac{AC_1}{AC_2}=\frac{AB_2}{AB_1}.$$

Перемножая крест-накрест, получаем:

$$AB_1\cdot AC_1=AB_2\cdot AC_2.$$

Ответ

$$P_{A_1B_1C_1}=10\text{ см};\quad AB_1\cdot AC_1=AB_2\cdot AC_2.$$