Упр.670 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ равна $$a$$, а высота $$CH$$ равна $$h$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $$ABC$$ так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне $$AB$$, а две другие — соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$.
2. Через точку $$A$$ проведены касательная $$AB$$ (‌‌$$B$$ — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках $$P$$ и $$Q$$. Докажите, что $$AB^2=AP\cdot AQ$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABP$$ и $$\triangle ABQ$$.

Так как $$AB$$ — касательная к окружности в точке $$B$$, а $$A,P,Q$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ABP=\angle AQP$$

как углы между касательной и хордой, а также

$$\angle BAP=\angle QAB$$

как общий угол при вершине $$A$$.

Следовательно, $$\triangle ABP \sim \triangle ABQ$$.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{AB}{AQ}=\frac{AP}{AB}$$

Отсюда

$$AB^2=AP\cdot AQ.$$

Ответ

$$AB^2=AP\cdot AQ$$