Упр.669 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
O-ц.вп.окр;
BO:OH=12:5;
AB=BC=60 см;
Найти:
AC-?;
Решение:
1) Рассмотрим треугольник AHB и треугольник OEB:
угол B-общий; угол H=угол E=90°;
По первому признаку:
треугольник AHB=треугольник OEB, OE/AH=BE/BH=BO/AB;
2) В равнобедренном треугольник ABC:
OE=OH=r, BO=12/5 OH=12/5 r;
AH=(OE•AB)/BO=r•60•5/(12•r)=25;
AH=1/2•AC, AC=2•AH=50;
Ответ: 50 см. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание высоты $$BH$$, проведённой к основанию $$AC$$, а через $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда точка $$O$$ лежит на высоте $$BH$$, и по условию

$$BO:OH=12:5.$$

Пусть $$OH=r$$. Тогда $$BO=\frac{12}{5}r$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHB$$ и $$OEB$$. У них

$$\angle AHB=\angle OEB=90^\circ,$$

а также $$\angle ABH=\angle EBO$$, так как это один и тот же угол при вершине $$B$$.

Следовательно, $$\triangle AHB \sim \triangle OEB$$, и потому

$$\frac{AH}{OE}=\frac{AB}{BO}.$$

Так как $$OE=r$$, $$AB=60$$, $$BO=\frac{12}{5}r$$, получаем

$$AH=\frac{OE\cdot AB}{BO}=\frac{r\cdot 60}{\frac{12}{5}r}=25.$$

В равнобедренном треугольнике высота $$BH$$ является также медианой, значит

$$AH=\frac{1}{2}AC.$$

Тогда