Упр.668 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
2. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Пусть $$AB$$ — диаметр окружности, $$C$$ — точка окружности, а $$CD \perp AB$$, причём $$E = CD \cap AB$$.

Так как $$O$$ — центр окружности, то $$CO = OD = r$$. Следовательно, $$\triangle COD$$ равнобедренный.

Поскольку $$AB \perp CD$$, то в равнобедренном треугольнике $$COD$$ прямая $$OE$$, проведённая из вершины $$O$$ к основанию $$CD$$, является и высотой, и медианой. Значит, $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, то есть $$CE = ED$$.

По свойству пересекающихся хорд получаем:

$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$

Так как $$CE = ED$$, то

$$AE \cdot EB = CE^2.$$

Отсюда

$$CE = \sqrt{AE \cdot EB}.$$

Значит, перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков $$AE$$ и $$EB$$.

Ответ

$$CE = \sqrt{AE \cdot EB}.$$