Упр.667 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Подобны ли треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, если:
а) $$AB = 3\text{ см}$$, $$BC = 5\text{ см}$$, $$CA = 7\text{ см}$$, $$A_1B_1 = 4{,}5\text{ см}$$, $$B_1C_1 = 7{,}5\text{ см}$$, $$C_1A_1 = 10{,}5\text{ см}$$;
б) $$AB = 1{,}7\text{ см}$$, $$BC = 3\text{ см}$$, $$CA = 4{,}2\text{ см}$$, $$A_1B_1 = 34\text{ дм}$$, $$B_1C_1 = 60\text{ дм}$$, $$C_1A_1 = 84\text{ дм}$$?
Диаметр $$AA_1$$ окружности перпендикулярен к хорде $$BB_1$$ и пересекает её в точке $$C$$. Найдите $$BB_1$$, если $$AC = 4\text{ см}$$, $$CA_1 = 8\text{ см}$$.

Подробный ответ

а) Сравним отношения соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{5}{7{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{7}{10{,}5}=\frac{2}{3}.$$

Все три отношения равны, значит, треугольники подобны по трём сторонам:

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$

б) Приведём длины к одним единицам измерения:

$$A_1B_1=34\text{ дм}=340\text{ см},\quad B_1C_1=60\text{ дм}=600\text{ см},\quad C_1A_1=84\text{ дм}=840\text{ см}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1{,}7}{340}=\frac{1}{200},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{3}{600}=\frac{1}{200},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{4{,}2}{840}=\frac{1}{200}.$$

Отношения соответствующих сторон равны, следовательно,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$

Диаметр $$AA_1$$ окружности перпендикулярен хорде $$BB_1$$ и пересекает её в точке $$C$$. Найдём $$BB_1$$.

Так как диаметр проходит через центр окружности и перпендикулярен хорде, то он делит хорду пополам. Значит, $$BC=CB_1$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда

$$AO=OA_1=\frac{AA_1}{2}=\frac{4+8}{2}=6\text{ см}.$$

Из условия $$AC=4\text{ см}$$, значит

$$OC=AO-AC=6-4=2\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BOC$$:

$$BC=\sqrt{BO^2-OC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ см}.$$

Тогда

$$BB_1=BC+CB_1=2BC=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ см}.$$