Упр.665 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены параллельными прямыми $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, причём точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$a$$, а точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — на прямой $$b$$. Докажите, что $$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.
2. Вершины треугольника $$ABC$$ лежат на окружности. Докажите, что если $$AB$$ — диаметр окружности, то $$\angle C > \angle A$$ и $$\angle C > \angle B$$.

Пусть через точку $$A$$ проведена прямая $$c$$, параллельная прямым $$AA_1,\;BB_1,\;CC_1$$. Обозначим точки пересечения этой прямой с прямыми $$BB_1$$ и $$CC_1$$ через $$B_2$$ и $$C_2$$ соответственно.

Тогда треугольники $$\triangle ABB_2$$ и $$\triangle ACC_2$$ подобны, так как

• $$\angle A$$ — общий;
• $$\angle ABB_2=\angle ACC_2$$ как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно,

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_2}{AC_2}.$$

Кроме того, четырёхугольник $$AC_2C_1A_1$$ — параллелограмм, так как $$AA_1 \parallel CC_1$$ и $$AC_2 \parallel A_1C_1$$. Поэтому

$$AB_2=A_1B_1,\qquad AC_2=B_1C_1.$$

Подставим это в полученное отношение:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}.$$