Упр.664 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны угла $$A$$ пересечены параллельными прямыми $$BC$$ и $$DE$$, причём точки $$B$$ и $$D$$ лежат на одной стороне угла, а $$C$$ и $$E$$ — на другой. Найдите:
а) $$AC$$, если $$CE = 10\text{ см}$$, $$AD = 22\text{ см}$$, $$BD = 8\text{ см}$$;
б) $$BD$$ и $$DE$$, если $$AB = 10\text{ см}$$, $$AC = 8\text{ см}$$, $$BC = 4\text{ см}$$, $$CE = 4\text{ см}$$;
в) $$BC$$, если $$AB : BD = 2 : 1$$ и $$DE = 12\text{ см}$$. - Прямая $$AM$$ — касательная к окружности, $$AB$$ — хорда этой окружности. Докажите, что угол $$MAB$$ измеряется половиной дуги $$AB$$, расположенной внутри угла $$MAB$$.
Рассмотрим каждый пункт отдельно.
а)
Так как $$BC \parallel DE,$$ то треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны. Поэтому
$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}.$$
Найдём $$AB$$:
$$AB=AD-BD=22-8=14\text{ см}.$$
Тогда
$$\frac{14}{22}=\frac{AC}{AC+10}.$$
Решим уравнение:
$$14(AC+10)=22AC$$
$$14AC+140=22AC$$
$$8AC=140$$
$$AC=17{,}5\text{ см}.$$
б)
Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$ имеем
$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$$
Сначала найдём $$BD$$ из пропорции для отрезков на сторонах угла:
$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}.$$
Подставим данные:
$$\frac{10}{8}=\frac{BD}{4},$$
откуда
$$BD=5\text{ см}.$$
Теперь
$$AD=AB+BD=10+5=15\text{ см}.$$
Тогда
$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$
Так как $$BC=4\text{ см},$$ получаем
$$\frac{4}{DE}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$DE=6\text{ см}.$$
в)
Пусть $$BD=x,$$ тогда $$AB=2x,$$ а значит
$$AD=AB+BD=2x+x=3x.$$
Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$:
$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$$
При $$DE=12\text{ см}$$ имеем
$$\frac{BC}{12}=\frac{2}{3},$$
следовательно,
$$BC=8\text{ см}.$$
Ответ
а) $$AC=17{,}5\text{ см}$$; б) $$BD=5\text{ см},\ DE=6\text{ см}$$; в) $$BC=8\text{ см}$$.
