Упр.663 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны угла $$O$$ пересечены параллельными прямыми $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что отрезки $$OA$$ и $$AC$$ пропорциональны отрезкам $$OB$$ и $$BD$$ (рис. 194).
2. Отрезок $$AC$$ — диаметр окружности, $$AB$$ — хорда, $$MA$$ — касательная, угол $$MAB$$ острый. Докажите, что $$\angle MAB = \angle ACB$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$AC_1$$ так, что $$AC_1 \parallel BD$$, и обозначим $$C_1 = AC_1 \cap CD$$.

Рассмотрим треугольники $$OAB$$ и $$ACC_1$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, а точки $$O, A, C$$ лежат на одной стороне угла, то

$$\angle OAB = \angle ACC_1,$$

$$\angle O = \angle CAC_1$$

как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно, $$\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{AC_1}.$$

Четырёхугольник $$AC_1DB$$ — параллелограмм, так как $$AC_1 \parallel BD$$ и $$AB \parallel C_1D$$. Поэтому

$$AC_1 = BD.$$

Подставляя это равенство, получаем

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD}.$$

Отсюда

$$OA \cdot BD = OB \cdot AC,$$

значит,

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$

Что и требовалось доказать.