Упр.662 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ треугольника $$ABC$$, причём $$MN \parallel AC$$, $$NP \parallel AB$$. Найдите стороны четырёхугольника $$AMNP$$, если:
а) $$AB = 10\text{ см}$$, $$AC = 15\text{ см}$$, $$PN : MN = 2 : 3$$;
б) $$AM = AP$$, $$AB = a$$, $$AC = b$$. - Хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$E$$. Найдите угол $$BEC$$, если $$\overset{\frown}{AD} = 54^\circ$$, $$\overset{\frown}{BC} = 70^\circ$$.
а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB$$, то четырёхугольник $$AMNP$$ — параллелограмм. Значит, $$MN=AP$$ и $$NP=AM$$.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$MBN$$. У них
$$\angle B$$ — общий, $$\angle BMN=\angle BAC$$ как соответственные при $$MN \parallel AC$$.
Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle MBN$$.
Пусть $$PN=2x$$, тогда $$MN=3x$$. Из подобия треугольников получаем
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}$$
то есть
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}.$$
Отсюда
$$30x=150-30x,$$
$$60x=150,$$
$$x=2{,}5.$$
Тогда
$$PN=2x=5\text{ см},$$
$$MN=3x=7{,}5\text{ см}.$$
Следовательно,
$$AM=NP=5\text{ см}, \quad AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$
б) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB$$, то $$AMNP$$ — параллелограмм. По условию $$AM=AP$$, значит $$AMNP$$ — ромб.
Пусть $$AM=x$$. Тогда $$MB=AB-AM=a-x$$, а из подобия треугольников $$ABC$$ и $$MBN$$ имеем
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Подставим:
$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$
Тогда
$$ax=b(a-x),$$
$$ax=ab-bx,$$
$$x(a+b)=ab,$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Значит,
$$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
Ответ: а) $$MN=AP=7{,}5\text{ см},\ AM=NP=5\text{ см}$$; б) $$MN=AP=AM=NP=\frac{ab}{a+b}$$.
