Упр.660 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
- Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в $$32^\circ$$. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна $$100^\circ$$. Найдите меньшую дугу.
Пусть даны два равнобедренных треугольника $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$.
а) По равному острому углу
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в двух таких треугольниках равны острые углы, то равны и углы при основании:
$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle C=\angle C_1.$$
Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
б) По равному тупому углу
Если в равнобедренных треугольниках равны тупые углы, то равны и остальные два угла каждого треугольника, так как сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Значит, равны и углы при основании:
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-\angle B}{2},\qquad \angle A_1=\angle C_1=\frac{180^\circ-\angle B_1}{2}.$$
Так как $$\angle B=\angle B_1$$, то $$\angle A=\angle A_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
в) По прямому углу
Если в равнобедренных треугольниках равны прямые углы, то каждый из них равен $$90^\circ$$. Тогда два остальных угла в каждом треугольнике в сумме дают $$90^\circ$$ и, поскольку они равны между собой, каждый из них равен $$45^\circ$$:
$$\angle A=\angle C=45^\circ,\qquad \angle A_1=\angle C_1=45^\circ.$$
Значит, соответствующие углы равны, и треугольники подобны по двум углам.
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
Ответ: да, в каждом из трёх случаев равнобедренные треугольники подобны.
