Упр.66 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если уголCOB=148°. На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: а) угол2 + угол4 = 220°; б) 3(угол1 + угол3) = угол2 + угол4; в) угол2 — угол1 = 30°.

Обозначим углы, как на рисунке 41.

а) Углы $$2$$ и $$4$$ — вертикальные, значит, они равны:

$$\angle 2=\angle 4$$

По условию:

$$\angle 2+\angle 4=220^\circ$$

Тогда

$$2\angle 4=220^\circ,\quad \angle 4=110^\circ$$

Следовательно,

$$\angle 2=110^\circ$$

Углы $$1$$ и $$2$$ смежные, поэтому

$$\angle 1+\angle 2=180^\circ$$

$$\angle 1=180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Углы $$1$$ и $$3$$ вертикальные, значит,

$$\angle 3=\angle 1=70^\circ$$

б) Углы $$1$$ и $$3$$ вертикальные, значит, $$\angle 1=\angle 3$$. Углы $$2$$ и $$4$$ тоже вертикальные, значит, $$\angle 2=\angle 4$$.

Пусть $$\angle 1+\angle 3=x$$. Тогда $$\angle 2+\angle 4=3x$$.

Сумма всех четырёх углов вокруг точки равна $$360^\circ$$, значит:

$$x+3x=360^\circ$$

$$4x=360^\circ,\quad x=90^\circ$$

Тогда

$$\angle 1=\angle 3=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

$$\angle 2=\angle 4=\frac{3\cdot 90^\circ}{2}=135^\circ$$

в) Углы $$1$$ и $$2$$ смежные, значит,

$$\angle 1+\angle 2=180^\circ$$

Пусть $$\angle 1=x$$, тогда $$\angle 2=x+30^\circ$$.

Получаем:

$$x+(x+30^\circ)=180^\circ$$

$$2x=150^\circ,\quad x=75^\circ$$

Значит,

$$\angle 1=75^\circ,\quad \angle 2=105^\circ$$

Углы $$1$$ и $$3$$ вертикальные, поэтому

$$\angle 3=75^\circ$$

Углы $$2$$ и $$4$$ вертикальные, значит,

$$\angle 4=105^\circ$$

Ответ

а) $$\angle 1=70^\circ,\ \angle 2=110^\circ,\ \angle 3=70^\circ,\ \angle 4=110^\circ$$;

б) $$\angle 1=45^\circ,\ \angle 2=135^\circ,\ \angle 3=45^\circ,\ \angle 4=135^\circ$$;

в) $$\angle 1=75^\circ,\ \angle 2=105^\circ,\ \angle 3=75^\circ,\ \angle 4=105^\circ$$.