Упр.658 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$E$$. Прямые $$AE$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$F$$. Найдите: а) $$EF$$ и $$FC$$, если $$DE=8\text{ см}$$, $$EC=4\text{ см}$$, $$BC=7\text{ см}$$, $$AE=10\text{ см}$$; б) $$DE$$ и $$EC$$, если $$AB=8\text{ см}$$, $$AD=5\text{ см}$$, $$CF=2\text{ см}$$.
- Через точку $$A$$ к данной окружности проведены касательная $$AB$$ ($$B$$ — точка касания) и секущая $$AD$$, проходящая через центр $$O$$ ($$D$$ — точка на окружности, $$O$$ лежит между $$A$$ и $$D$$). Найдите углы $$BAD$$ и $$ADB$$, если $$BD=110^\circ20’$$.
Рассмотрим оба варианта.
а)
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$ и $$DE \parallel FC$$, поскольку точки $$E$$ и $$C$$ лежат на стороне $$CD$$, а прямые $$AE$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$F$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle EFC$$.
У них:
- $$\angle DEA = \angle FEC$$ — вертикальные;
- $$\angle EAD = \angle EFC$$ — накрест лежащие при $$AD \parallel FC$$.
Следовательно, $$\triangle ADE \sim \triangle EFC$$.
Тогда
$$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{FC}=k.$$
Из данных:
$$\frac{DE}{EC}=\frac{8}{4}=2,$$
значит, $$k=2$$.
Тогда
$$\frac{AE}{EF}=2 \Rightarrow \frac{10}{EF}=2 \Rightarrow EF=5\text{ см},$$
$$\frac{AD}{FC}=2.$$
В параллелограмме $$AD=BC=7\text{ см}$$, значит
$$\frac{7}{FC}=2 \Rightarrow FC=3{,}5\text{ см}.$$
б)
Снова рассмотрим треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle EFC$$. Они подобны, поэтому
$$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{EC}=\frac{AD}{FC}=k.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD=BC=5\text{ см}$$, а $$AB=CD=8\text{ см}$$. На стороне $$CD$$:
$$DE+EC=CD=8.$$
Из подобия
$$\frac{AD}{FC}=k \Rightarrow \frac{5}{2}=2{,}5.$$
Значит,
$$\frac{DE}{EC}=2{,}5.$$
Пусть $$DE=x$$, тогда $$EC=8-x$$. Получаем:
$$\frac{x}{8-x}=2{,}5.$$
Отсюда
$$x=2{,}5(8-x),$$
$$x=20-2{,}5x,$$
$$3{,}5x=20,$$
$$x=\frac{20}{3{,}5}=\frac{40}{7}=5\frac{5}{7}.$$
Значит,
$$DE=5\frac{5}{7}\text{ см},$$
а
$$EC=8-5\frac{5}{7}=2\frac{2}{7}\text{ см}.$$
Ответ: а) $$EF=5\text{ см},\ FC=3{,}5\text{ см}$$; б) $$DE=5\frac{5}{7}\text{ см},\ EC=2\frac{2}{7}\text{ см}$$.
