Упр.650 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
2. Радиус окружности с центром $$O$$ равен $$16$$. Найдите хорду $$AB$$, если: а) угол $$AOB=60^\circ$$; б) угол $$AOB=90^\circ$$; в) угол $$AOB=180^\circ$$.

Пусть в подобных треугольниках $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ соответствующие стороны равны $$AB$$ и $$A_1B_1$$, а высоты, проведённые к ним, равны $$h$$ и $$h_1$$.

Так как треугольники подобны, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2,$$

где $$k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

С другой стороны, площадь каждого треугольника можно выразить через сторону и проведённую к ней высоту:

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot h,$$

$$S_{A_1B_1C_1}=\frac12 A_1B_1\cdot h_1.$$

Тогда

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{\frac12 AB\cdot h}{\frac12 A_1B_1\cdot h_1}=\frac{AB}{A_1B_1}\cdot\frac{h}{h_1}.$$

Но это отношение равно $$k^2$$, значит

$$\frac{AB}{A_1B_1}\cdot\frac{h}{h_1}=k^2.$$

Так как $$\frac{AB}{A_1B_1}=k$$, получаем

$$k\cdot\frac{h}{h_1}=k^2,$$

откуда

$$\frac{h}{h_1}=k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

Следовательно, отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.