Упр.647 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\ \text{см}$$. В этот треугольник вписан ромб $$DMFN$$ так, что вершины $$M$$, $$F$$ и $$N$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$, $$CE$$ и $$DE$$. Найдите стороны $$CD$$ и $$DE$$, если $$CF=8\ \text{см}$$, $$EF=12\ \text{см}$$.
Отрезок $$AH$$ — перпендикуляр, проведённый из точки $$A$$ к прямой, проходящей через центр $$O$$ окружности радиуса $$3\ \text{см}$$. Является ли прямая $$AH$$ касательной к окружности, если:
а) $$OA=5\ \text{см}$$, $$AH=4\ \text{см}$$;
б) $$\angle HAO=45^\circ$$, $$OA=4\ \text{см}$$;
в) $$\angle HAO=30^\circ$$, $$OA=6\ \text{см}$$?

Подробный ответ

Пусть $$CE=x.$$ Тогда из условия $$CF=8\text{ см},\ EF=12\text{ см},$$ значит

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

Так как $$DMFN$$ — ромб, то его диагональ $$DF$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$. Следовательно, в треугольнике $$CDE$$ отрезок $$DF$$ делит сторону $$CE$$ в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Значит,

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\text{ см},$$ поэтому

$$CD+DE+CE=55.$$

Подставим $$CE=20$$:

$$CD+DE=55-20=35.$$

Теперь решим систему:

$$\begin{cases} CD=\frac{2}{3}DE,\\ CD+DE=35. \end{cases}$$

Тогда

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$