Упр.644 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол AMC = 3угол BMC.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения биссектрисы $$AD$$ со стороной $$BC$$ через $$D$$. Тогда по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}.$$

Пусть $$BD=x$$, тогда $$DC=20-x$$, так как $$BC=20$$. Получаем

$$\frac{x}{20-x}=\frac{2}{3}.$$

Решим уравнение:

$$3x=2(20-x)$$

$$3x=40-2x$$

$$5x=40$$

$$x=8.$$