Упр.643 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD= 7,5 см, DC = 4,5 см. б) Найдите DC, если АВ = 30, AD = 20, ВС =16. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если угол OAB = 30°, АВ = 5 см.

Подробный ответ

а) Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$ треугольника $$ABC$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}.$$

Тогда

$$AB=BC\cdot \frac{AD}{DC}=9\cdot \frac{7{,}5}{4{,}5}=15\text{ см}.$$

б) Аналогично,

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}.$$

Отсюда

$$DC=\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{20\cdot 16}{30}=\frac{320}{30}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\text{ см}.$$

в) Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности, проведённые из точки $$A$$, то $$AB=AC=5\text{ см}.$$ Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $$OB\perp AB$$, и треугольник $$AOB$$ прямоугольный.

В треугольнике $$AOB$$ угол при вершине $$A$$ равен $$30^\circ$$, поэтому

$$OB=AO\cdot \sin 30^\circ=\frac{AO}{2}.$$

По теореме Пифагора:

$$AO^2=AB^2+OB^2.$$

Пусть $$OB=x$$, тогда $$AO=2x$$. Получаем

$$4x^2=25+x^2,$$

$$3x^2=25,$$

$$x=\frac{5\sqrt3}{3}.$$

Значит,

$$OB=\frac{5\sqrt3}{3}.$$

Так как радиусы $$OB$$ и $$OC$$ равны, а прямая $$AO$$ проходит через центр, то перпендикуляр из центра к хорде $$BC$$ делит её пополам. Обозначим точку пересечения $$AO$$ и $$BC$$ через $$E$$. Тогда $$BE=EC$$ и $$BE\perp AO$$.

Угол $$\angle OAB=30^\circ$$, а $$OB\perp AB$$, значит

$$\angle BOA=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$BOE$$

$$\angle OBE=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

поэтому

$$BE=BO\cdot \cos 30^\circ=\frac{5\sqrt3}{3}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{5}{2}\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=2BE=5\text{ см}.$$