Упр.642 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
2. На рисунке 213 $$OB=3\text{ см}$$, $$OA=6\text{ см}$$. Найдите $$AB$$, $$AC$$, $$\angle 3$$ и $$\angle 4$$.

Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OB \perp AB,\qquad OC \perp AC.$$

Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ — прямоугольные.

В треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=OA^2-OB^2=6^2-3^2=36-9=27,$$

откуда

$$AB=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Аналогично для треугольника $$AOC$$:

$$AC^2=OA^2-OC^2=6^2-3^2=27,$$

значит

$$AC=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Найдём угол $$3$$. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$

$$\sin \angle 3=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{6}=\frac12,$$

поэтому

$$\angle 3=30^\circ.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$AOC$$

$$\sin \angle 4=\frac{OC}{OA}=\frac{3}{6}=\frac12,$$

значит

$$\angle 4=30^\circ.$$

Ответ: $$AB=AC=3\sqrt{3}\text{ см},\ \angle 3=\angle 4=30^\circ.$$