Упр.642 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. На рисунке 213 ОВ = 3см, ОА = 6 см. Найдите АВ, AC, угол 3 и угол 4.
Так как $$AB$$ и $$AC$$ — касательные к окружности с центром $$O$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$OB \perp AB,\qquad OC \perp AC.$$
Следовательно, треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ — прямоугольные.
В треугольнике $$AOB$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=OA^2-OB^2=6^2-3^2=36-9=27,$$
откуда
$$AB=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$
Аналогично, в треугольнике $$AOC$$:
$$AC^2=OA^2-OC^2=6^2-3^2=27,$$
значит
$$AC=3\sqrt{3}\text{ см}.$$
Найдём угол $$3$$:
$$\sin \angle 3=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$
следовательно,
$$\angle 3=30^\circ.$$
Так как треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по гипотенузе и катету:
$$AO\text{ — общая},\qquad OB=OC=R,$$
то соответствующие углы при вершине $$A$$ равны, значит
$$\angle 4=\angle 3=30^\circ.$$
Ответ: $$AB=AC=3\sqrt{3}\text{ см},\ \angle 3=\angle 4=30^\circ.$$
