Упр.637 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если: а) угол А острый, то $$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH$$; б) угол А тупой, то $$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH$$.
- Задание учебника 2023 года. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен $$30^\circ$$. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.
По теореме Пифагора:
$$BH^2=AB^2-AH^2,$$
$$BH^2=BC^2-HC^2.$$
Приравняем правые части:
$$AB^2-AH^2=BC^2-HC^2,$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$
Так как $$H$$ лежит на прямой $$AC$$ и угол $$A$$ острый, то
$$HC=AC-AH.$$
Тогда
$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC-AH)^2,$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2-2AC\cdot AH+AH^2,$$
$$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH.$$
Это и требовалось доказать.
б) Аналогично рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.
По теореме Пифагора:
$$BH^2=AB^2-AH^2,$$
$$BH^2=BC^2-HC^2.$$
Следовательно,
$$AB^2-AH^2=BC^2-HC^2,$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$
Так как угол $$A$$ тупой, точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$A$$, поэтому
$$HC=AC+AH.$$
Тогда
$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC+AH)^2,$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2+2AC\cdot AH+AH^2,$$
$$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH.$$
Что и требовалось доказать.
