Упр.635 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$BC$$ высота $$AD$$ равна $$8\ \text{см}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если медиана $$DM$$ треугольника $$ADC$$ равна $$8\ \text{см}$$.
- Через точку $$A$$ окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Рассмотрим треугольник $$ADC.$$ Так как $$AD \perp BC,$$ а точка $$D$$ лежит на $$BC,$$ то треугольник $$ADC$$ прямоугольный, и его гипотенуза — $$AC.$$
По условию $$DM$$ — медиана треугольника $$ADC.$$ В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, значит
$$DM=\frac{AC}{2}.$$
Так как $$DM=8\text{ см},$$ получаем
$$AC=2\cdot 8=16\text{ см}.$$
Теперь найдём $$DC$$ по теореме Пифагора для треугольника $$ADC$$:
$$DC^2=AC^2-AD^2=16^2-8^2=256-64=192,$$
$$DC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$
В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ высота $$AD$$, проведённая к основанию $$BC,$$ является также медианой, поэтому
$$BD=DC=8\sqrt{3}\text{ см}.$$
Тогда
$$BC=BD+DC=2\cdot 8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 8=64\sqrt{3}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$64\sqrt{3}\text{ см}^2.$$
