Упр.635 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$AD \perp BC$$, а точка $$D$$ лежит на прямой $$BC$$, то $$AD \perp DC$$. Значит, $$\triangle ADC$$ прямоугольный.

По условию $$DM$$ — медиана этого треугольника, проведённая к гипотенузе $$AC$$. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому

$$AC=2DM=2\cdot 8=16\text{ см}.$$

2) Найдём $$DC$$ по теореме Пифагора в треугольнике $$ADC$$:

$$ DC^2=AC^2-AD^2 $$

$$ DC^2=16^2-8^2=256-64=192 $$

$$ DC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}. $$

3) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ высота $$AD$$, проведённая к основанию $$BC$$, является также медианой. Значит, $$BD=DC=8\sqrt{3}\text{ см}$$, а тогда

$$ BC=BD+DC=2\cdot 8\sqrt{3}=16\sqrt{3}\text{ см}. $$

4) Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD $$

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 8=64\sqrt{3}\text{ см}^2. $$

5) Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AB$$ — хорда, причём $$AB=r$$. Тогда $$OA=OB=r$$, следовательно, $$\triangle AOB$$ равносторонний и

$$\angle OAB=60^\circ.$$

Касательная в точке $$A$$ перпендикулярна радиусу $$OA$$, значит угол между касательной и хордой равен

$$ 90^\circ-60^\circ=30^\circ. $$