Упр.633 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см. Даны квадрат ОABC, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Подробный ответ

Площадь треугольника $$COD$$ найдём по формуле площади треугольника через основание и высоту:

$$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot OF=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 5=30\ \text{см}^2.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. Их площади выражаются так:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot CE.$$

Так как $$BH$$ и $$CE$$ — высоты трапеции, то $$BH=CE$$. Следовательно,

$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

Диагональ $$AC$$ делит трапецию $$ABCD$$ на треугольники $$AOC$$ и $$COD$$, а диагональ $$BD$$ — на треугольники $$AOB$$ и $$AOD$$. Поэтому

$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},\qquad S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}.$$

Из равенства $$S_{ABD}=S_{ACD}$$ получаем:

$$S_{AOB}=S_{COD}=30\ \text{см}^2.$$

Во второй задаче рассмотрим квадрат $$OABC$$ со стороной $$6$$ см и окружность с центром в точке $$O$$ радиуса $$5$$ см.

Прямая $$OA$$ проходит через центр окружности, значит, она является секущей.

Прямая $$AB$$ перпендикулярна $$OA$$, поэтому расстояние от центра $$O$$ до прямой $$AB$$ равно $$OA=6$$ см. Так как $$6>5$$, прямая $$AB$$ не пересекает окружность, то есть не является секущей.

Аналогично, прямая $$BC$$ перпендикулярна $$OC$$, и расстояние от $$O$$ до $$BC$$ равно $$OC=6$$ см. Следовательно, $$BC$$ тоже не является секущей.

Для прямой $$AC$$ расстояние от центра $$O$$ до неё равно половине диагонали квадрата:

$$OD=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{72}=3\sqrt{2}\approx 4{,}24\ \text{см}.$$

Так как $$4{,}24<5$$, прямая $$AC$$ является секущей.