Упр.632 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренной трапеции диагональ равна $$10\ \text{см}$$, а высота равна $$6\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.
- Расстояние от точки $$A$$ до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку $$A$$, является секущей по отношению к данной окружности.
Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$BD=10$$ см — диагональ, $$BH=6$$ см — высота. Опустим из вершины $$D$$ перпендикуляр $$DF$$ на основание $$BC$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит $$AB=CD.$$ Кроме того, $$BH=DF=6\text{ см}.$$
Тогда прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$ равны по гипотенузе и катету, откуда $$AH=CF.$$ Следовательно, четырёхугольник $$BHDF$$ — прямоугольник, поэтому $$HD=BF.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDH$$:
$$HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту, а в данном случае удобно найти её как удвоенную площадь треугольника $$BDH$$:
$$S_{BDH}=\frac12\cdot BH\cdot HD=\frac12\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$
$$S_{ABCD}=2S_{BDH}=2\cdot 24=48\text{ см}^2.$$
Ответ: $$48\text{ см}^2$$.
