Упр.630 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Расстояние от точки $$M$$, лежащей внутри треугольника $$ABC$$, до прямой $$AB$$ равно $$6$$ см, а до прямой $$AC$$ равно $$2$$ см. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$, если $$AB=13$$ см, $$BC=14$$ см, $$AC=15$$ см.
- Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Обозначим площади треугольников $$ABM$$, $$ACM$$ и $$BCM$$ через $$S_{ABM}$$, $$S_{ACM}$$ и $$S_{BCM}$$.
Тогда
$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{ACM}+S_{BCM}.$$
Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} =84\ \text{см}^2.$$
Теперь найдём площади треугольников $$ABM$$ и $$ACM$$:
$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39\ \text{см}^2,$$
$$S_{ACM}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 2=15\ \text{см}^2.$$
Тогда
$$S_{BCM}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{ACM}=84-39-15=30\ \text{см}^2.$$
Пусть искомое расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$ равно $$x$$. Тогда
$$S_{BCM}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot x=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot x=7x.$$
$$7x=30,\qquad x=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}\ \text{см}.$$
Ответ
$$4\frac{2}{7}\ \text{см}$$
