Упр.630 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=13см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Подробный ответ

Обозначим через $$S_{ABC}$$ площадь треугольника $$ABC$$. Тогда

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BMC}+S_{AMC}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21,$$

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}.$$

$$S_{ABC}=\sqrt{7\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot 7\cdot 2\cdot 3}=84\ \text{см}^2.$$

Теперь найдём площади двух треугольников:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot MH=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39\ \text{см}^2,$$

$$S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot ME=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 2=15\ \text{см}^2.$$

Тогда

$$S_{BMC}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{AMC}=84-39-15=30\ \text{см}^2.$$

С другой стороны, если $$MF$$ — расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$, то

$$S_{BMC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot MF=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot MF.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2}\cdot 14\cdot MF=30,$$

$$7MF=30,$$

$$MF=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}\ \text{см}.$$

Построение треугольника по стороне и двум медианам:

Разделим отрезки $$a_1$$ и $$b_1$$ на три равные части.
Из точки $$A$$ построим окружность радиуса $$\frac{2}{3}a_1$$, а из точки $$B$$ — окружность радиуса $$\frac{2}{3}b_1$$. Их пересечение обозначим через $$O$$.
Построим лучи $$AO$$ и $$BO$$ и отложим на них отрезки $$AA_1$$ и $$BB_1$$, равные $$a_1$$ и $$b_1$$ соответственно.
Проведём лучи $$BA_1$$ и $$AB_1$$; их пересечение обозначим через $$C$$.
Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Получим искомый треугольник.