Упр.629 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны треугольника равны 13см, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треугольника. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона. Пусть его стороны равны $$13$$ см, $$12$$ см и $$5$$ см.

Полупериметр:

$$ p=\frac{13+12+5}{2}=\frac{30}{2}=15 $$

Тогда

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-13)(p-12)(p-5)} $$

$$ S_{ABC}=\sqrt{15\cdot(15-13)\cdot(15-12)\cdot(15-5)} $$

$$ S_{ABC}=\sqrt{15\cdot 2\cdot 3\cdot 10} =\sqrt{5\cdot 3\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 2} =5\cdot 2\cdot 3=30 $$

Следовательно, $$S_{ABC}=30\text{ см}^2$$.

Теперь построим треугольник по серединам его сторон. Пусть $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно.

Соединим точки $$A_1C_1$$, $$C_1B_1$$ и $$A_1B_1$$. Через каждую из этих точек проведём прямую, параллельную противоположной стороне треугольника:

• через $$A_1$$ — прямую, параллельную $$AB$$;
• через $$B_1$$ — прямую, параллельную $$BC$$;
• через $$C_1$$ — прямую, параллельную $$CA$$.

Точки пересечения этих прямых и будут вершинами искомого треугольника $$ABC$$.

Ответ

$$S_{ABC}=30\text{ см}^2$$.