Упр.628 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна ab/c.

1) Найдём площадь общей части двух квадратов.

Обозначим общую часть квадратов $$AEQD$$.

Тогда

$$S_{AEQD}=S_{ACD}-S_{ECQ}.$$

Поскольку $$ABCD$$ — квадрат, то $$AD=DC=a$$, значит

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12 a^2.$$

Диагональ квадрата $$ABCD$$ равна

$$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.$$

Тогда

$$EC=AC-AE=a\sqrt2-a=a(\sqrt2-1).$$

Так как $$AC\perp EF$$, то $$\angle ECQ=90^\circ$$, а значит треугольник $$ECQ$$ — прямоугольный равнобедренный, поэтому

$$EQ=EC.$$

Следовательно,

$$S_{ECQ}=\frac12\cdot QE\cdot EC=\frac12\cdot EC^2=\frac12 a^2(\sqrt2-1)^2.$$

Раскроем скобки:

$$S_{ECQ}=\frac12 a^2(2-2\sqrt2+1)=\frac12 a^2(3-2\sqrt2).$$

Тогда

$$S_{AEQD}=\frac12 a^2-\frac12 a^2(3-2\sqrt2)=\frac{a^2}{2}(2\sqrt2-2)=a^2(\sqrt2-1).$$

2) Построим отрезок длины $$\dfrac{ab}{c}$$.

Построим угол с вершиной $$A$$. На одной его стороне отложим $$AC=c$$ и $$CD=a$$, а на другой стороне — $$AB=b$$.

Проведём прямую $$BC$$ и через точку $$D$$ проведём прямую, параллельную $$BC$$. Пусть она пересечёт луч $$AB$$ в точке $$E$$.

Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны, поэтому

$$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}.$$

Отсюда

$$AE=\frac{AB\cdot AD}{AC}=\frac{b\cdot a}{c}=\frac{ab}{c}.$$

Искомый отрезок — $$AE$$.

Ответ

$$S=a^2(\sqrt2-1),\qquad \frac{ab}{c}.$$