Упр.627 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=17\ \text{см}$$, $$BC=5\ \text{см}$$ и боковой стороной $$AB=10\ \text{см}$$ через вершину $$B$$ проведена прямая, делящая диагональ $$AC$$ пополам и пересекающая основание $$AD$$ в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$BDM$$.
- Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в два раза больше площади треугольника $$ABC$$.
Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямой $$BM$$ с диагональю $$AC$$. По условию $$E$$ — середина диагонали $$AC$$, то есть $$AE=EC$$.
Проведём из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры к основанию $$AD$$, пусть их основания — $$H$$ и $$F$$ соответственно. Тогда $$BH\perp AD$$ и $$CF\perp AD$$, а в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ высоты, опущенные к основанию $$AD$$, равны, поэтому $$BH=CF$$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$. У них
$$AB=CD=10\text{ см}, \qquad BC=HF=5\text{ см},$$
следовательно,
$$AH=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{17-5}{2}=6\text{ см}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$BH^2=AB^2-AH^2=10^2-6^2=100-36=64,$$
откуда
$$BH=8\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AEM$$ и $$BEC$$. Имеем:
$$\angle AEM=\angle BEC$$ — вертикальные углы,
$$\angle AEM=\angle BEC,\qquad \angle AEM=\angle BEC,$$
а также $$AE=EC$$. Значит, треугольники $$AEM$$ и $$BEC$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AM=BC=5\text{ см}.$$
Тогда
$$MD=AD-AM=17-5=12\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$BDM$$ равна
$$S_{BDM}=\frac12\cdot MD\cdot BH=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$
Ответ: $$48\text{ см}^2$$.
